Подскажите, пожалуйста, при выезде несовершеннолетнего ребенка в Минск из Санкт-Петербурга (самолет) в сопровождении ответственного лица, по загранпаспорту, потребуется ли наличие свидетельства о рождении со штампом?

Загранпаспорта достаточно, а на ответственное лицо доверенность (согласие) от родителя

Нет. Если ребенок выезжает по доверенности, то св-во вообще не нужно. Если с родителями, может потребоваться для подтверждения родства. Но штамп не нужен и в этом случае.