Мне не надо будет в Шанхае ещё раз регистрировать багаж? Авиакомпания одна, но меня смущает приписка про другую авиакомпанию в первом рейсе.

Если все рейсы в одном билете ничего не нужно. Какая разница одна или не одна авиакомпания. У них партнерство. И вы это узнаете заранее - так как при сдаче багажа будет на бирке указан аэропорт где вы его заберёте

Нет, не надо. Но в любом случае, при сдаче багажа вам сообщат, где вы будете получать его. А разные авиакомпании указаны в билете, тк несколько рейсов разных авиакомпаний объединяют в один.