Подскажите, лечу в Корею, могут ли быть на границе проблемы, если вместо Tourism указал Visit как цель посещения? при этом указал, что родственников в ЮК нет.

Визит не обязательно же к родственникам бывает, если у вас есть друзья/знакомые в Корее(находящиеся там легально, разумеется), которых вы можете указать как контактное лицо, то проблем не должно быть.

Если никого нет, лучше поменяйте на туризм