Подскажите, пожалуйста, если прилететь в Москва-Батуми, затем поехать в Ереван и оттуда прилететь в Москву (Москва-Батуми-Ереван-Москва) будут ли какие-то проблемы на границах?

Нет не будут , если вы где то по дороге к примеру банк не ограбите )

Нет, вы же проходите границу Грузия -Армения и закрываете въезд. Вам там поставят штам,покинули страну.

Наверное только если вы из Еревана в Мск полетите по внутреннему ру паспорту, тогда загран будет выглядеть так, словно вы остались в Армении

нет не будет, даже если по разным загран паспортам улетать/прилетать

максимум спросят даты пересечения границы