Купила машину, есть только договор купли продажи, на учет ставлю машину позже, поездка в Монголию назначена. Смогу ли проехать границу, просто по договору купли продажи?

Нет конечно, ваш договор это бумажка которая подтверждает только право собственности. Машина на учёте не стоит, соответственно никто вас никуда не пустит. Вы и ездить-то "по договору" права не имеете по-хорошему.

Сделайте нотариальную доверенность и прежнего собственника, с правом выезда за границу.