Подскажите, пож как сейчас с банками обстановка - есть "свежий" паспорт РА без штампов о въезде/выезеде, прописки нет, но могу сделать трудовой договор. Получится в каком-то банке открыть карту как резиденту РА?

Вероятность есть. Нужен SSN по любому. Если сделаете трудовой договор и правильно заполните анкету (счет и карта нужна внутри Армении И так далее). То Арарат и Ардшинбанк шансы хорошие

Адрес прописки (или как минимум временной регистрации) в банке затребуют с подтверждением. Как вариант - поселиться в гостинице на несколько дней и сразу после заселения попросить у них справку о регистрации в гостинице. Формально никто не запрещает гражданину РА в гостинице жить хоть всю жизнь никуда не выезжая, поэтому у банка вопросов не должно быть.