Подскажите, пожалуйста, можно ли выехать из РФ по Российскому паспорту, а заехать в Эстонию по Израильскому. Пустят?

Так только так вы и должны ехать.

В РФ - вы гражданин РФ и выехать можете только по российскому паспорту.

А вот в Эстонию по израильскому паспорту вас пустят только при наличии :цели поездки, маршрута, билетов, брони, страховки.

Если чего то из этого не будет - могут и не пустить.