Посоветуйте, пожалуйста, как лучше всего добраться с ребенком из Нового Аэропорта Стамбула в центр города (Султанахмет)?

Для каждого "лучше" может быть по своему. Дешевле на метро с 1 пересадкой до Venzeciler и дальше на трамвае.

Подороже (но покомфортнее) на автобусе Хаваист до Аксарай и далее на трамвае.

Ещё комфортнее на такси, а верх комфорта - на трансфере.