Подскажите, пожалуйста, реально ли от листвянки до больших котов за день дойти? И есть ли там где переночевать, без палатки, турбаза или гостиница?

Если вы имеете в виду просто Коты, то за день конечно можно. На маршруте ночевок кроме палаточных мест никаких нет.

Это отрезок Большой Байкальской толпы, в интернете есть даже сайт о ней. Почитайте.

Если вы имеете в виду от Большого Голоустного, то нет, за день не пройти. Коты как раз на этом отрезке будут примерно серединой и можно ночевать там. Но часто весь маршрут ББТ идут с двумя ночевками.