Подскажите, если я сменила загранпаспорт в Грузии, у меня нет печати въезда в новом паспорте, есть в старом, который скоро будет не действительным - как тогда выезжать? Надо где-то регистрировать новый паспорт?

Ждите пока закончится старый, просто покажите его на границе. Пока он не закончится будут ставить в него

Выезжаете с двумя новым и показываете старый , вас скорее всего отведут в отдельное окошко , проверят и все