Лечу Turkish Airlines в Панама Сити из Москвы с пересадкой в Стамбуле для получения студенческой визы США. Все документы для визы есть. Могут ли проблемы с туркишами в Стамбуле? Обратного билета нет. Были такие случаи?

Могут. Были.

Иметь обратный билет или билет в третью страну - это обязательное требование для въезда в Панаму.

А туркиши к тому же имеют свои дополнительные требования - иметь обратный, строго их же авиакомпанией и в одном бронировании

Да, вас могут развернуть - у вас не туристическая цель и нет доказательств вашего туризма. В Стамбуле многих разворачивают