Подскажите пожалуйста возможно ли из батуми добраться до Болгарии ?

Возможно, конечно.

Батуми-Стамбул самолет, дальше Стамбул-Варна рейсы есть, например, или на машине или автобусе трансфер, в зависимости от того, куда надо, и от бюджета.

Вариантов много, самолет, автобус, и даже вроде паром в Софию ходит.