Я имею право ставить в российский паспорт штамп о выезде из РФ, а в Израиле погран. службе показать Теудат Маавар?

Много летаю таким образом, вопросов ни разу не возникло.

Не во всех странах пограничники вообще ставят штампы в загранпаспорта. В Израиле например не ставят.

При наличии российского гражданства вы обязаны пересекать российскую границу по российским документам - по загранпаспорту, а в некоторые страны по общегражданскому (внутреннему) паспорту.

При наличии гражданства Израиля граница Израиля пересекается по израильским документам. Репатриантам в случае отсутствия загранпаспорта израиля временно можно использовать загранпаспорт страны исхода.

Поскольку теудат Маавар вы уже получили, вам по российскому уже нельзя.

В третьих странах в зависимости от безвизового въезда или визы в паспорте можете использовать любой из имеющихся загранпаспортов.

Пограничникам не нужно сличать штампы в паспорте, они в своей системе и так видят какие паспорта есть у обладателя данной биометрии и куда он по ним ездил.

Ничего не будет. Осенью была на Кубе и там не поставили ни одного штампа ( прилет, вылет), на российской границе только спросили - "откуда прилетели?" Поставили штамп и все.

Я приехал через 6 мес.- репатриантская виза и 2 российских штампа. В Сочи пропустили без вопросов.