Летим с собачкой из Москвы а Тбилиси на месяц, а оттуда на неделю в Испанию. Что нужно, чтобы попасть с питомцев в Грузии знаю.

сделать титры в Москве можете, но вылететь с ними из Грузии все равно только через 90 дней со дня взятия анализа

Вам нужны титры с трехмесячной выдержкой от даты сдачи крови. С российскими вы можете ехать, где они сделаны — не важно. В Грузии переделывать не надо. Титры для ес пожизненные, если ревакцинироваться не позже каждого 364-го дня от предыдущей вакцинации