Подскажите, чтобы человеку с ВНЖ Болгарии начать работать надо сходить в НАП и получить какой-то документ? Нужно идти в НАП в том городе, где выдан ВНЖ или в том городе, где находится моя работа?

Смотря по какому основанию получено ВНЖ.

С популярными основаниями ВНЖ типа торговое представительство или пенсионерство невозможно работать, только менять тип ВНЖ.

А если по работе (ЕРПР) или синяя карта, то право на работу уже есть.

А членам семьи нужно в агенции по занятости согласование получить.