Печать на свидетельство о рождении у нас не ставят, а выдают справку на отдельном бланке о российском гражданстве, не придерутся на границе с Абхазией?

Не должны, этот бланк официальный орган выдал же. У нас тоже отдельный бланк, т.к. свидетельство двухстороннее

Не придерутся. Невозможного требовать никто не будет.