Можно ли на пароме перебраться на азиатскую сторону с причала Каракей? Если да, то можете подсказать ссылку с расписанием, или поясните пожалуйста, как его найти в интернете?

Проще всего посмотреть в гугле "паромы в стамбуле" перевозчики şehir hatlari, turiol, dentur avrasia. Расписание есть на сайтах. У первого есть приложение.

Можно, слева от моста причал паромов Sehir Hatlari, справа - паромы Turyol. Ходят и те и те примерно каждые 20-30 минут, и до Кадыкей, и до Ускюдар. Расписание в приложении Sehir Hatlari и на сайте Turyol.