Могу ли я сделать Шенген в России, если живу и официально работаю в Сербии больше года? Там же, наверное, нужны всякие банковские справки , которых у меня нет.

Можете попробовать. Паспорт-то российский. Просто убеждать чиновников вам придется имеющимися у вас сербскими бумажками и прочими выписками. Будет ли это на пользу для положительного решения вопроса — не берусь судить. Сомневаюсь.