А кто на синей карте в Германии (или каком другом ВНЖ "по работе") брал неоплачиваемый отпуск? Погулять охота, и дней может не хватить. Могут ли быть проблемы с иммиграционными властями потом из-за этого?

Нет, у абх не должно возникнуть вопрос до определенного срока(тут спекулирую:скорее всего несколько месяцев до полугода), если все остальные обязательства сохраняются(прописка, например). Другое дело, что внж выдано под рабочий параграф, а значит, ожидается, что вы работаете. Все остальное- нецелесообразно использование внж. Если речь о нескольких месяцах, то скорее всего проблем быть не должно совсем и регулируется лишь рабочим правом.

Учтите, что и со страховкой могут быть вопросы, если срок недоплачиваемого отпуска превышает месяц.

Если вас после этого не уволят, то властям нет до этого дела.