Лечу с собакой в Республику Беларусь, дальше из РБ в РФ будет перевозить родственник, нужно ли делать доверенность на собаку?

можно вписать его имя в ветпаспорт собаки, если есть место.

иначе придется писать доверенность, да.

и учтите, что придется новые документы на животное получать в РБ, т.к. меняется человек, который его везет.