Подскажите, можно ли оформить грин карту при въезде в Беларусь, а не заранее? Она сразу в этот день начнёт действовать? Быстро это делается?

Да, можно, перед границей куча будок, действовать будет с той даты когда скажете, понятно, что на границе обычно оформляют с "сегодня") Но можете заранее просто с отложенным сроком начала действия) Оформление минут 10 если не будет спешить страховщик)