Нужно ди распечатать кету при прохождении границы?

Да.

Распечатанную кету попросят в России на регистрации на рейс. Когда прилетите в Корею особенно ничего не надо, давайте погранцу только паспорт, но желательно иметь бронь гостиницы и прочее чо у вас есть на всякий случай.

Да, в стране посадки могут попросить показать 'разрешение для въезда в страну' - визу или кета.