Кто точно знает, если машина оформлена на мать, а я еду без нее в Сухум, страховка оформлена в РФ, мать собственник, я страхователь и использую транспорт, у меня будут проблемы с проездом?

Не будет.

Делайте ген доверенность.

Если напишете доверенность с правом вывоза заграницу, то нет. Если лень написать доверенность, то можете положиться на свой артистизм. Когда спросят с вами ли собственник, махнете рукой на пеший переход и скажете что она там. Не слышал чтобы кого то послали на пеший переход звать собственника.

50/50 могут не пропустить вообще, могут легко пропустить, лучше использовать доверенность.