Нужен ли загранпаспорт, если мы будем пересекать границу Абхазии на такси?

Нет разницы как пересекать границу, в любом случае нужен документ, дающий право пересечения границы.

Нет.

Если у вас российское гражданство, вы можете въехать или по общероссийскому паспорту, или по заграничному. Виза не нужна. Пешком ли вы будете переходить границу, поедете на такси, на поезде или на собственном автомобиле — у вас всё равно будут в обязательном порядке проверять документы.