Скажите, пожалуйста, как быть если нужно перевозить не совсем здорового зверя. У меня у кошки атопический дерматит, и он у неё всю жизнь.

Если сббж скажут что ехать нельзя, то ехать нельзя. они документы выписывают не потому что им хочется, а потому что это безопасность и животного и окружающих. Если для животного с дерматитом ехать опасно (скорее всего безопасно), то вам документы не дадут.