У меня возникла ситуация с Blaue Karte: одним из условий получения есть предоставления Договора аренды в Германии.

Вашим родственникам не нужно делать договор субаренды, чтобы подтвердить ваше проживание у них. Тем более если живете бесплатно. Достаточно Wohnungsgeberbestätigung от них, если они владельцы жилья. Если они сами снимают, то главный владелец жилья может сделать этот документ, если он согласен на ваше проживания там. С этой бумагой вы делаете прописку и получаете Meldebestätigung и прикладываете ее к документам. Можно добавить письмо в свободной форме за подписью о безвозмездной проживании у них.

Таки если у вас есть прописка - зачем вам договор? приложите документ из администрации, где написано "такой-то такой-то прописан тут" - этого вполне достаточно может оказаться.