Я живу в Армении с мая 2022 года, купила квартиру, и мой сын ходит в армянскую школу , у меня есть регистрация по месту жительства , социальные карты на меня и детей , но у меня нет официальной работы , я работаю в индустрии красоты (

Не знаю как в вашем случае получить ВНЖ, но есть знакомые у кого в государственный детский сад в Ереване приняли детей только с пропиской (без ВНЖ и без справки с воркпермита). Попробуйте встать в очередь и, возможно, Вашу дочь тоже возьмут по месту прописки.

Можете ИП открыть, заплатить налоги и получить внж.

Просто прописки же хватало до сих пор.. Вы в садике спросите. Насчёт внж не подскажу.

А ваш салон не хочет оформлять с вами трудовой договор (тогда вам все же лучше настоять на этом, в том числе можно попробовать обратиться в налоговую и трудовую) или же вы сами получаете оплату от ваших клиентов (тогда вам стоит открыть ИП, оформить микробизнес, заплатить налоги за первый месяц и потом податься на ВНЖ по бизнесу)?