Кто знает, если нарушил сроки пребывания авто на русских номерах в Грузии, то штраф при выезде выдаётся или по месту пребывания можно взять?

На месте выдаётся! И советую оплатить сразу прям на границе.

Не уверен что можно оплатить заранее, думаю это довольно сложно. Но на пересечении границы вам непременно его предъявят и заставят в обязательном порядке оплатить. Поэтому имейте эти деньги с собой, из расчета 50 лари/день, лучше налом. Учтите разрешенный срок не три месяца, а 90 дней! Один день просрочки вроде как могут и простить, но два уже точно нет.