Подскажите, есть банки в которых можно открыть карту гражданину РФ, с трудовым договором но без договора аренды ?

Походите по банкам, может кто и одобрит заявку, если не хотите терять время, то сразу идите в Юнибанк, там открывают по паспорту +НДФЛ.

ID bank скорее всего одобрят. Только лучше идти в банк, а не оформлять онлайн заявку.