Лечу в Грузию скоро, паспорт РФ, но в графе место рождения Украина, будут ли доп. проверки кто знает?

Конечно.

Не было проверок.

Не забудьте российский паспорт. у меня каждый раз его спрашивали при въезде в Россию , в частности интересовало когда я получила гражданство (сведения о ранее выданных паспортах помогают)