Подскажите, в новом аэропорту в Стамбуле можно распечатать посадочные ? Или придется ждать начало регистрации ?

Можно не распечатывать, а показывать с экрана. Если багажа нет и пройдена электронная регистрация, можно ничего не распечатывать.

Да можно мобильный посадочный талон распечатать. Бумажный есть стойки туркиш эйрдайнс и может ещё некоторых авиакомпаний, но российских не видел.