Подскажите, а заморская страховка до въезда в определенную страну для кота бывает вообще? Тинькофф меня послал.

У Тинькофф нет и не было страхования питомцев никогда. У других российских компаний страхование здоровья питомца распространяется только на Россию. И, насколько я знаю, страховка на питомца оформляется в той стране, где вы с питомцем.