Можно ли гражданину России с Российскими правами оформить на себя машину и ездить на ней в Армении, из армянских документов есть вид на жительство и соц карта?

Скорее всего, прописка нужна.

На сколько помню, именно оформленную на себя машину только с армянскими правами можно эксплуатировать, но прокатную по РФ правам, но пусть меня поправят, я не уверен.

Не сможешь РФ правами.

Спокойно сможешь, при покупки автомобиля в Армении ты сможешь поставить ее на учёт в ГИБДД, а права если есть российские, ты можешь(если хочешь) пересдать экзамен и у тебя будут армянские, за все надо платить, сам знаешь.

С пропиской можно, а ещё можно позвонить в регистрационный отдел и получить пруф.