Подскажите пожалуйста, если ехать в Новый Афон самостоятельно, то можно ли будет попасть в пещеру или туда можно попасть только если поехать с экскурсией?

Можно)

Попадете без проблем без экскурсии.

Да можно, все в шаговой доступности .

Поезжайте рано утром, тогда точно попадете. После 11 часов будет много туристических групп, есть риск взять билет только на вечерний заезд.

Конечно можно 700 р вход, вчера только там были сами, на машине.

Вход в пещеру 700 руб. Каждый час по две экскурсии с экскурсоводом. Т. к. в пещеру спускаешься на маленьком электропоезде.