Подскажите пожалуйста, нужно ли приглашение от родственников при оформлении k-eta, если указываешь, что едешь в гости в Юж корею?

Не нужно, кета это предварительное одобрение для въезда в страну. Одним словом простая формальность, без неё вы не сможете сесть в самолет.