Скажите, пожалуйста, если мне нужно лететь из Петербурга в Тбилиси, и рейсы разными авиакомпаниями, есть вообще шанс, что и на одном и на другом рейсе будет возможность провести кошку?

Начинайте бронировать с последнего сегмента, все получится.

Может, легче будет доехать на поезде из спб в Минск, например, а из Минска прямым рейсом в Тбилиси? Хотя не представляю, как кошка вытерпит столько времени в пути(

Если вы летите с пересадкой в Ереване, то скорее всего даже из самолёта выходить не придётся. Рекомендую добраться до Москвы поездом или самолётом, а из Москвы fly one или армянскими авиалиниями.