Подскажите, пожалуйста, дадут ли визу российским гражданам в аэропорту Бахрейна, если мы собираемся снимать квартиру (без брони в отель)?

Скорее всего, дадут. Но лучше иметь какое-то подтверждение, адрес, может быть какие-то данные человека, который сдает. И обратный билет. Могут и не спросить ничего, но могут и спросить.