А кто-нибудь приезжал в консульство России на Кипре по чужой записи (чтобы не менять фио и не терять Слот)? Так проходит если с паспортом или копией паспорта записавшегося?

Я заранее им писал на почту и они согласовывали.

Родственников с одной фамилией по чужой записи принимают. По совсем чужой записи на входе скорее всего пошлют, поэтому, как вам посоветовали выше, лучше согласовать заранее.