Пытаюсь подать декларацию за май (у меня там был нулевой оборот, и май был месяц открытия ИП), а сайт пишет следующее: «Вы не имеете права заполнять эту декларацию в течение этого периода». Мне нужно вообще эту первую декларацию подавать сейчас?

Предполагаю что вы месца перепутали. если зарегистрировали малый бизнес токлько в мае, то он будет только в июне и декларацию подавать за июнь только в июле. если в апреле активировали малый бизнес - сместите все на месяц) то есть регистируете в одном месяце, статус присваивается и активирутеся в след, и еще в след месяце уже декларация.