Нужно ли заверять в России доверенность, сделанную на русском и грузинском и заверенную в Грузии, для использования в Москве?

Нет, не нужно, есть соглашение, которое Грузия тоже подписывала. Если будут требовать, ссылаться на то, что по соглашению апостилирование не требуется.