Переехал в Сербию, вопрос по белому картону: если я сегодня въехал во временное жильё и сегодня же буду подписывать договор долгосрочной аренды

Если вы въехали вчера в страну, вам надо оформить бк не позднее сегодняшнего дня (на любой адрес). Возможно, хозяин согласиться зарегистрировать вас раньше действия договора (договор не нужен, если он с вами пойдёт). Но, условно, зарегистрировать сегодня так, чтобы это начало действовать через 3 дня, не получится, ну и вам это не подходит. Обычно в день начала действия договора. Но можно и позже, если есть другой бк (его надо будет показать)

Регистрация по месту нахождения может быть никак не связана с договором аренды в принципе. Но она должна быть произведена по месту фактического нахождения в течение 24 ч с момента прибытия. Предоставление документов на регистрацию- обязанность принимающей стороны.