Будет ли работать Яндекс такси с аэропорта Тбилиси в новогоднюю ночь? Кроме такси есть варианты ночью уехать из аэропорта?

Такси будет работать конечно. Автобусы может и продлят по времени, но вряд ли на всю ночь. Стандартно автобусы работают до ~23, далее с аэропорта только такси или трансфер и до утра.