Если я на полгода зарегистрируюсь по месту пребывания в Ташкенте, а потом на неделю-другую съезжу заграницу, то понадобится заново делать регистрацию после возвращения? Слетает ли регистрация, если выехать из Узбекистана и въехать обратно?

Все зависит от того какая формулировка в целях, если гости то после возвращения надо делать, а если работа то не надо. А вообще максимальный срок временной регистрации 6 месяцев так, что через пол года и так надо делать.

Регистрация не слетает. Можете это проверить по qr коду на листке. Стандартная практика, обсуждалась неоднократно.