Подскажите, можно ли из Сочи или Новороссийска на пароме добраться в Батуми и машину перевезти свою?

Напрямую - никак. Возможно какие - то грузовые в трабзон ходят, но много дешевле найти перегонщика, это обойдется тысяч в 30-40 рублей + доверенность и бензин.