Пустят ли меня в Монголию 20 декабря, если срок паспорта до 27 декабря? А новый еще не готов.

Да никого назад не отправят! Паспорт действителен до последнего дня! Успевайте выехать до срока окончания. Я лично так в мае проезжал. Это где визовый режим, там, да, там есть определенный срок до окончания срока действия, а с Монголией безвиз. Так мне в погрануправлении и объяснили перед поездкой. И все было нормально.