В личном кабинете налоговой Грузии пункт выбора малого бизнеса у меня есть, но когда я его выбираю, он там не фиксируется.

Если точно утвержден в июле, то да, должен начать действовать с августа, но декларация по нему первая - в сентябре. Поэтому, если по присвоению в июле информация верна, либо баг, либо снова налоговая что-то меняет. Вам эта галочка все равно нужна будет толлько в сентябре до подачи первой декларации.