Подскажите пожалуйста, если перелет сам сутки или даже больше, как собаки переносят? Как с туалетом? Как психика потом?

Собак не кормят. Они сутки вполне могут обойтись.

На пересадке некоторые авиакомпании выгуливают и кормят животных.

Животное терпит до конца поездки, или писает-какает на пеленку. Поэтому стоит позаботиться о пеленказ заранее, чтобы из было побольше. Плюс, когда будете в зоне пересадкой, можете на месте попросить взять из багажа и выгулять, но не факт, что вам разрешат.