Подскажите, пожалуйста, могут въехать в Абхазию граждане Украины по загранпаспорту или виду на жительство (России), не потеряв регистрацию?

По загранпаспорту можно.

Если у вас временный миграционный учёт, то он сгорит при пересечении границы. Если регистрация постоянная (штамп в виде на жительство), то она остаётся, куда бы не выезжали.