Подскажите по гражданству Румынии , если я подаю как гражданин Молдовы документы в Румынии, могу ли я саму присягу потом пройти в Москве ?

Подаёте в анч и сразу указываете что сдавать будете в Москве.

Правильно понимаю, у вас 2 паспорта: РМ и РФ? Если так, то вы можете подаваться в любой из стран принадлежности или Румынии. Сдавать присягу так же в любой из стран можете. Скорее всего вам придется сообщить о наличии двух гражданств и предоставить подтверждающие документы - в каком объеме не подскажу.

Подать присягу Вы сможете(при легальном проживании. Как уже писали выше, например при наличии ВНЖ РФ). Но перерегистрацию св о рождении Вы сможете сделать только в консульстве, в стране происхождения документа(в вашем случае РМ), либо в Румынии.