Приехал в квартиру, которой владеет другой человек. Могу ли я с его NIE подключить интернет? Заключить договор? Также в квартире отрублен свет.

Просто с номером нет. Он может подписать авторизацию и выслать вам фото с документами.

Вы все можете сделать с договором аренды. И NIE навсегда. 90 дней- это срок актуальности бумажки. Потом просто берете новую.